CF Edu 100D PizzaForces，最小花费问题的高效解法

CF Edu 100D PizzaForces是一道最小花费问题，要求购买若干种不同切片数和价格的披萨，使总切片数不少于n，求最小总花费，解法核心利用披萨切片数均为偶数的特点，先将n向上取整到最近偶数，对较小的n直接枚举所有可能组合；对较大的n，选择性价比（每片价格）更高的披萨批量购买，再微调少量披萨补充不足，这种分情况处理避免暴力枚举低效，以极小复杂度得到更优解，高效解决问题。

背景与大意
Codeforces Educational Round 100的D题《PizzaForces》是一道经典的贪心与枚举结合的问题，考察选手对问题转化和边界优化的能力，题目描述如下：
给定整数n，以及三种披萨的价格：6寸披萨a元、8寸披萨b元、10寸披萨c元，要求购买若干披萨，使得总尺寸≥n，求最小花费（披萨只能整份购买）。

核心思路分析

问题转化

观察到6、8、10均为偶数，若n为奇数，最小满足条件的总尺寸应为n+1（偶数），因此先将n调整为最近的偶数s（s≥n），再将s除以2得到m（即问题转化为：用3、4、5寸的“小披萨”（对应原6、8、10寸）组合，总尺寸≥m，求最小花费）。

枚举与贪心结合

小m的处理：当m≤20时，直接枚举所有可能的3、4、5寸披萨数量组合，找到最小花费。
大m的处理：当m>20时，更优解必然是选择单位价格更低的披萨（如3寸的单位价格为a/3，4寸为b/4，5寸为c/5），此时只需计算覆盖m所需的该披萨数量（向上取整），即可得到最小花费。

原因：对于大m，单位价格更低的披萨组合能以更低成本覆盖需求，且3、4、5的组合可覆盖所有≥某个阈值的整数，无需额外枚举。

解题步骤

调整n为偶数：若n为奇数，n +=1。
转化为m：m = n//2。
枚举小m：对m≤20，枚举所有可能的3、4、5寸披萨数量，计算最小花费。
贪心处理大m：计算三种披萨的单位价格，选择更优的一种，计算覆盖m所需的数量及花费。
取最小值：将小m和大m的结果取最小值，即为答案。

代码实现

def minimal_pizza_cost(n, a, b, c):
    # Step 1: Adjust n to even if it's odd
    if n % 2 != 0:
        n += 1
    m = n // 2
    min_cost = float('inf')
    # Step 2: Enumerate all possible combinations for  *** all m (<=20)
    max_x = m // 3 + 2  # 3-inch pizza count
    max_y = m // 4 + 2  # 4-inch pizza count
    max_z = m // 5 + 2  # 5-inch pizza count
    for x in range(max_x + 1):
        for y in range(max_y + 1):
            for z in range(max_z + 1):
                total_size = 3*x + 4*y + 5*z
                if total_size >= m:
                    current_cost = a*x + b*y + c*z
                    if current_cost < min_cost:
                        min_cost = current_cost
    # Step 3: Greedy for large m (>20)
    if m > 20:
        # Calculate unit prices
        u1 = a / 3.0
        u2 = b / 4.0
        u3 = c / 5.0
        # Find the best unit price pizza
        min_unit = min(u1, u2, u3)
        if min_unit == u1:
            k, p = 3, a
        elif min_unit == u2:
            k, p = 4, b
        else:
            k, p = 5, c
        # Number of pizzas needed
        t = (m + k - 1) // k  # ceil(m/k)
        greedy_cost = t * p
        min_cost = min(min_cost, greedy_cost)
    return min_cost
# Example usage:
# n=10, a=15, b=20, c=25 → expected output 25 (10-inch pizza)
print(minimal_pizza_cost(10,15,20,25))

这道题的关键在于将问题转化为更小的规模（偶数→m），并通过枚举小范围和贪心处理大范围的方式，高效解决了大n的情况，它考察了选手对问题本质的理解和优化能力，是一道值得反复思考的经典题。

通过这道题,我们可以学到：

问题转化的重要性（将奇数转化为偶数，简化计算）；
枚举与贪心的结合（小范围枚举保证正确性，大范围贪心提升效率）；
单位价格的应用（找到更优性价比的选项）。

希望这篇解析能帮助你理解CF Edu 100D的解题思路，提升编程能力！

正文